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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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10. Determine los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio de Taylor de $f(x)=\ln (1+x)+a x^{2}+b x$ en $x=0$ empiece con la potencia de $x$ de exponente lo más grande posible.

Respuesta

Vamos a entender un poquito la situación. Si queremos que nuestro Taylor empiece con la potencia de \( x \) con el exponente más grande posible, necesitamos anular al menos los primeros términos (el lineal y el cuadrático), de modo que en principio seguro $f'(0)$ y $f''(0)$ tendríamos que pedir que sean cero. 
La función dada \( f(x) = \ln(1 + x) + ax^2 + bx \). Calculemos sus primeras derivadas y evaluémoslas en \( x = 0 \): \( f'(x) = \frac{1}{1 + x} + 2ax + b \) Evaluando en \( x = 0 \) obtenemos:
\( f'(0) =  1 + b \)

Por lo tanto, si queremos que $f'(0)$ y, por lo tanto, anular el término con $x^1$ (el lineal), tenemos que pedir que:

$1 + b = 0$

y despejando nos queda que $b = -1$ Vamos ahora con la derivada segunda:
\( f''(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} + 2a \) Evaluando en \( x = 0 \) obtenemos:
\( f''(0) = -1 + 2a \)

Entonces, si pedimos que $f''(0) = 0$ estaríamos anulando el término con $x^2$ (el cuadrático). Entonces, \( -1 + 2a = 0 \)
\( a = \frac{1}{2} \)

Por lo tanto, si \( a = \frac{1}{2} \) y \( b = -1 \), el término lineal y el cuadrático desaparecen, y estaríamos logrando que el polinomio arranque con la potencia de $x$ lo más grande posible. 
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Avatar Ignacio 27 de junio 13:37
Muchas gracias, la verdad que me sirvio mucho ver los procesos y como esta explicado, muy bueno todo!!
Avatar Flor Profesor 27 de junio 17:44
@Ignacio Buenisimoooo, me alegro mucho que te esté sirviendo el curso! 😉🫶
Avatar Ezequiel 5 de junio 17:38
Hola Flor, la verdad que no entiendo porque pedimos que los dos primeros terminos del polinomio de taylor valgan 0. Porque tienen que ser necesariamente f' y f''?
Avatar Flor Profesor 5 de junio 20:03
@Ezequiel Hola Eze! Es porque queremos que empiece con la potencia de $x$ lo más grande posible... Si $f'(0)$ fuera distinto de cero, entonces tu polinomio de Taylor arrancaría en $x^1$. Lo mismo, si $f''(0)$ fuera distinto de cero, arrancaría en $x^2$... Pidiendole condiciones a $a$ y a $b$ podemos lograr que esas derivadas sean cero y entonces nuestro Taylor arranque recién con $x^3$ :D
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